ปฏิทรรศน์ของซีโน
Zeno’s Paradoxes

 

1. บทนำ
2. ปฏิทรรศน์ของความหลากหลาย
3. ปฏิทรรศน์ของการเคลื่อนที่
4. สรุป
เรียบเรียงจาก
เอกสารค้นคว้าเพิ่มเติม

 

1. บทนำ

“ปฏิทรรศน์” เป็นคำแปลของคำว่า “paradox” รากศัพท์ของคำนี้ประกอบด้วย “para” ซึ่งแปลว่า “ตรงกันข้าม” (contrary to) และ “dox” ซึ่งแปลว่า “ความเชื่อ” (belief) ปฏิทรรศน์ใช้กันในความหมายของข้อความที่ตรงกันข้ามหรือขัดแย้งกับความเชื่อที่คนทั่วไปมี หรือยอมรับว่าเป็น “สามัญสำนึก” ซีโนแห่งอีเลีย (Zeno of Elea, 490-430 BCE) เป็นนักปรัชญาคนสำคัญที่ออกชุดการอ้างเหตุผลเพื่อเสนอปฏิทรรศน์มากมายหลากหลาย เป็นที่เชื่อกันว่า ซีโนเสนอปฏิทรรศน์เหล่านี้เพื่อปกป้องฐานคิดทางอภิปรัชญาของปาร์เมนิเดส (Parmenides) ที่เชื่อว่าทุกสิ่งเป็นความจริงหนึ่งเดียวกันที่ไม่อาจแบ่งแยกได้และไม่มีการเปลี่ยนแปลง ภาพปรากฏที่ทำให้เห็นต่างไปจากนี้เป็นเพียงภาพมายาเท่านั้น แม้คนส่วนใหญ่อาจเห็นว่านี่เป็นแนวคิดที่ไร้สาระอย่างสิ้นเชิง แต่ซีโนกลับชี้ให้เห็นในมุมกลับกันว่าแนวคิดที่ตรงข้ามกับของปาร์เมนิเดสต่างหากที่นำไปสู่ผลซึ่งไร้สาระเสียยิ่งกว่า ตัวอย่างเช่น ซีโนแสดงให้เห็นว่าถ้าเราเชื่อว่ามีสิ่งต่างๆ อยู่อย่างหลากหลายแล้ว เราก็จะต้องสรุปว่าทุกสิ่งนั้นเป็นสิ่งที่ทั้งมีขนาดที่ใหญ่อย่างไม่จำกัดและเล็กอย่างไม่จำกัด หรือถ้าเราเชื่อว่าการเคลื่อนที่สามารถแบ่งแยกได้อย่างไม่สิ้นสุด สิ่งที่ตามมาก็คือข้อสรุปที่บอกว่าไม่มีสิ่งใดเลยที่เคลื่อนที่ได้ อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าเราจะเห็นด้วยหรือไม่กับข้อสรุปดังกล่าวนี้ แต่อย่างน้อยที่สุดปัญหาที่ซีโนยกขึ้นมา ทำให้เราต้องตระหนักว่าการจะยอมรับและเชื่อในการมีอยู่ที่หลากหลายและการเคลื่อนที่ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทุกคนเห็นกันอยู่ทุกเมื่อเชื่อวันนั้น ไม่ใช่สิ่งที่จะทึกทักเอาได้โดยง่ายอีกต่อไป

มีการถกเถียงในหมู่นักวิชาการว่าเป้าหมายที่ซีโนต้องการโจมตีนั้นเป็นใครหรือแนวคิดแบบใดกันแน่ บางคนเชื่อว่ากลุ่มเป้าหมายคือนักปรัชญาสายปิทากอรัส (Pythagorean) ที่เห็นว่าความเป็นจริงมีพื้นฐานอยู่บนตัวเลขและจำนวนทางคณิตศาสตร์ บางคนเชื่อว่าน่าจะเป็นเพียงกลุ่มเป้าหมายที่อาจเป็นไปได้ แต่ไม่ได้มีอยู่จริง ที่อาจจะเสนอทฤษฎีทางเลือกอื่นๆ ขึ้นมาขัดแย้งกับหลักปรัชญาของปาร์เมนิเดส แต่การตีความทั้งสองนี้ก็ไม่เป็นที่ยอมรับเท่าใดนัก เพราะขาดหลักฐานสนับสนุนที่ชัดเจน สิ่งที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดจึงน่าจะเป็นการตีความที่เห็นว่าซีโนต้องการหักล้างทัศนะของคนทั่วไปที่คิดว่าแนวคิดของปาร์เมนิเดสเป็นสิ่งที่ผิดอย่างชัดเจนเพียงเพราะขัดกับสามัญสำนึกเกี่ยวกับความเป็นจริงของโลกที่คนส่วนใหญ่เชื่อกัน

ทัศนะที่เชื่อว่าความเป็นจริงคือทุกสิ่งเป็นหนึ่งเดียวกัน (monism) ตามที่ปาร์เมนิเดสเสนอนั้น ดูไม่น่าจะมีความเป็นไปได้มากนักเมื่อเทียบกับทัศนะแบบพหุนิยม (pluralism) ที่สอดคล้องกับสามัญสำนึกของเรามากกว่า นั่นคือ ทัศนะที่บอกว่าโลกประกอบด้วยสิ่งต่างๆ หลากหลาย เช่น มนุษย์ ก้อนหิน ต้นไม้ ฯลฯ แต่ซีโนเสนอข้ออ้างเหตุผลที่แสดงว่าการเชื่อในพหุนิยมเช่นนี้จะนำไปสู่ความขัดแย้งในตัวเอง กล่าวคือ ถ้ามีสิ่งต่างๆ ที่หลากหลายอยู่จริง สิ่งต่างๆ นั้นจะมีอยู่อย่างจำกัดและไม่จำกัด และสิ่งต่างๆ นั้นจะมีขนาดเล็กจนไม่มีขนาดและใหญ่จนมีขนาดที่ไม่จำกัด ซึ่งนี่ทำให้ต้องสรุปว่าทัศนะแบบพหุนิยมเป็นสิ่งที่ไปไม่ได้

2.1 ข้ออ้างเหตุผลเรื่องสิ่งที่จำกัดและสิ่งที่ไม่จำกัด

ข้อเขียนของซีโนที่ใช้อธิบายเรื่องนี้ ยังคงหลงเหลือมาจนถึงปัจจุบัน โดยซีโนกล่าวไว้ว่า

A: “ถ้ามีสิ่งต่างๆ อยู่มากมาย ย่อมจำเป็นที่สิ่งเหล่านั้นจะมีมากเท่าที่พวกมันมีอยู่ และมีไม่มากหรือไม่น้อยไปกว่านั้น แต่ถ้าหากพวกมันมีมากเท่ากับที่พวกมันมีอยู่ พวกมันก็ย่อมมีจำกัด”

B “ถ้ามีสิ่งต่างๆ อยู่มากมาย สิ่งที่มีอยู่เหล่านั้นจะมีอยู่อย่างไม่จำกัด เพราะย่อมจะต้องมีสิ่งอื่นที่อยู่ระหว่างสิ่งต่างๆ ที่มีอยู่นั้นเสมอ และก็จะมีสิ่งอื่นที่อยู่ระหว่างสิ่งเหล่านี้ต่อไปอีก และดังนั้นสิ่งต่างๆ ที่มีอยู่นั้นจึงมีอยู่อย่างไม่จำกัด”

จากข้ออ้างเหตุผล A ย่อมเป็นที่ชัดเจนว่า ผลรวมของสิ่งต่างๆ ที่มีอยู่ (ซึ่งในที่นี้สมมติให้เป็น T) จำเป็นต้องมีอยู่มากเท่ากับ T และ T จะต้องมีจำนวนไม่มากไปกว่า T+ (หมายถึงผลรวมที่ประกอบไปด้วยทุกสิ่งที่อยู่ใน T บวกกับสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากนั้น) และไม่น้อยไปกว่า T- (หมายถึงผลรวมของเกือบทุกสิ่งที่อยู่ใน T แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) แต่ปัญหา ณ จุดนี้คือ ข้ออ้างเหตุผลนี้จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานที่ว่า ถ้า T* ประกอบด้วยทุกสิ่งที่อยู่ใน T และมีสิ่งอื่นเพิ่มเข้ามาด้วยแล้ว T* จะประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ที่มากกว่า T และ T จะประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ที่น้อยกว่า T* อย่างไรก็ตาม ข้อสมมติฐานเช่นนี้ไม่เป็นจริงเสมอไป เพราะในกรณีที่ T และ T* ต่างประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ที่มีอยู่อย่างไม่จำกัดแล้ว (เช่น เซตของจำนวนเต็ม) เราจะไม่สามารถบอกได้ว่า T ประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ที่น้อยกว่า T*

กรณีของข้ออ้างเหตุผล B เป็นประเด็นของการเพิ่มสิ่งอื่นเข้ามาได้อย่างไม่จำกัด หากมีสิ่งต่างๆ มากมายจริงดังที่ทัศนะแบบพหุนิยมอ้าง นั่นย่อมมีนัยว่าสิ่งต่างๆ นั้นสามารถแยกแยะให้ต่างออกจากกันได้ เช่น สามารถแยกแยะให้เห็นได้ว่าคนแตกต่างไปจากม้า และวิธีหนึ่งที่จะจำแนกสองสิ่งนี้ให้ต่างกันออกไปก็คือการระบุถึงสิ่งอื่นที่ขั้นอยู่ระหว่างสองสิ่งนี้ เช่น อานม้า แต่ถ้าเช่นนั้นอะไรที่ทำให้อานม้ากับม้าแยกต่างกันออกไป คำตอบอาจเป็นไปได้ใน 2 รูปแบบ หนึ่งคือการชี้ไปที่สิ่งอื่นที่อยู่ระหว่างสองสิ่งนั้น และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป อันจะทำให้ได้ข้ออ้างเหตุผล B ตามมา สองคือการบอกว่าสองสิ่งนี้ต่างจากกันแม้จะสัมผัสกันก็ตาม แต่นี่กลับทำให้เกิดการแบ่งแยกอื่นที่เป็นไปได้ต่อไป เช่น ระหว่างตัวม้าด้านขวากับตัวม้าด้านซ้าย (ซึ่งเป็นสองสิ่งที่สัมผัสกันอยู่) อันทำให้ผลรวมของสิ่งต่างๆ คือ T นั้น สามารถถูกขยายออกไปสู่ผลรวมแบบอื่นที่มีสมาชิกเพิ่มขึ้นมาได้อย่างไม่จำกัด ด้วยเหตุนี้ หากเราเชื่อว่าโลกประกอบด้วยสิ่งต่างๆ มากมายหลากหลาย อะไรที่จะเป็นตัวแบ่งแยกระหว่างสิ่งต่างๆ โดยไม่ทำให้เกิดความขัดแย้งกันอย่างที่ซีโนเสนอมาได้ ประเด็นสำคัญ ณ จุดนี้คือ สามัญสำนึกเพียงอย่างเดียว (ดังที่คนทั่วไปส่วนใหญ่มักใช้กัน) ไม่เพียงพอที่จะเป็นเหตุผลสนับสนุนได้

ในการตอบข้ออ้างเหตุผลของซีโนนี้ อาจจำเป็นต้องคิดให้เกินเลยไปจากแนวคิดพหุนิยมแบบที่คนทั่วไปเชื่อกัน (simple pluralism) ซีโนเสนอข้อโต้แย้งโดยมีสมมติฐานว่าทัศนะที่ตรงข้ามกับสิ่งที่เขาเสนอจะมองว่าโลกประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ซึ่งมีคุณสมบัติที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีความต่อเนื่องกัน (homogeneous and continuous mass of exiting things) และเมื่อไม่มีพื้นฐานที่แน่นอนสำหรับการแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งต่างๆ นี้ วิธีเดียวที่จะแยกแต่ละสิ่งได้ก็คือการพิจารณาความสัมพันธ์ที่สิ่งต่างๆ นี้มีระหว่างกัน เช่น พิจารณาจากการที่มันอยู่ห่างจากกัน ในแง่นี้จึงทำให้ข้ออ้างเหตุผล B มีความสมเหตุสมผลสำหรับการโต้แย้งทัศนะเช่นนี้ การตอบข้อโต้แย้งนี้จึงอาจทำได้โดยการปฏิเสธสมมติฐานเรื่องความเป็นเนื้อเดียวกัน เช่นที่นักปรัชญาสมัยกรีกอย่างดิโมคริตัส (Democritus) แยกแยะสิ่งต่างๆ ได้เพราะมองว่าโลกประกอบด้วยหน่วยย่อยที่ต่างประเภทกันสองแบบ นั่นคือ อะตอม (atom) และที่ว่าง (void) โดยอะตอมสองอะตอมใดๆ แยกขาดจากกันด้วยที่ว่าง ส่วนอะตอมและที่ว่างที่ติดกันเป็นสิ่งที่แยกจากกันอยู่แล้วเพราะเป็นสิ่งคนละประเภทกัน อย่างไรก็ตาม การโต้แย้งข้อเสนอของซีโนในรูปแบบนี้ เท่ากับเป็นการปฏิเสธแนวคิดพหนุนิยมแบบที่คนทั่วไปเชื่อกัน เพราะโลกแบบดิโมคริตัสนี้ไม่ได้ประกอบสิ่งที่หลากหลายอย่าง มนุษย์ ก้อนหิน ต้นไม้ ฯลฯ แต่เป็นโลกที่ประกอบไปด้วยอะตอมต่างๆ ข้อโต้แย้งอีกแนวหนึ่งที่มีความซับซ้อนในการคิดแบบพหุนิยมมากขึ้นไปอีกคือแนวทางแบบของอริสโตเติล ที่แยกความแตกต่างระหว่างสิ่งต่างๆ เช่น มนุษย์และม้า ออกจากกันด้วยการจัดองค์ประกอบเชิงหน้าที่ (functional organization) ของแต่ละสิ่งนั้น

2.2 ข้ออ้างเหตุผลเรื่องสิ่งที่ใหญ่และสิ่งที่เล็ก

ข้ออ้างเหตุผลอีกชุดหนึ่งที่ซีโนใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งในตัวเองของทัศนะแบบพหุนิยมคือ ถ้ามีสิ่งต่างๆ ที่หลากหลายอยู่จริง สิ่งต่างๆ นั้นจะมีขนาดที่ใหญ่อย่างไม่จำกัด และเล็กจนไม่มีขนาด ซีโนกล่าวว่า

“ไม่มีสิ่งใดที่มีขนาด เพราะแต่ละสิ่งในสิ่งต่างๆ ที่มีมากมายนั้นเป็นสิ่งเดียวกันกับตัวมันเองและเป็นหนึ่งเดียว”

เนื่องจากการสูญหายของข้อเขียนส่วนใหญ่ของซีโน จึงยังไม่ชัดเจนในจุดนี้ว่าทำไมเพียงเพราะแต่ละสิ่งเป็นสิ่งเดียวกันกับตัวมันเองและเป็นหนึ่งเดียว จึงทำให้สิ่งนั้นเป็นสิ่งที่ไม่มีขนาด แต่ซีโนก็ได้ชี้ให้เห็นปัญหาต่อจากจุดนี้ว่า ถ้าเป็นเช่นนี้แล้ว สิ่งที่ไม่มีขนาดนั้นย่อมไม่มีอยู่จริง เพราะ

“ถ้าสิ่งนั้นถูกเพิ่มเข้าไปในสิ่งอื่นที่มีอยู่ มันจะไม่ทำให้สิ่งอื่นนั้นใหญ่ขึ้น เพราะถ้ามันไม่มีขนาดและถูกใส่เพิ่มเข้าไป สิ่งที่ถูกมันเพิ่มเข้ามาก็ไม่สามารถมีขนาดที่เพิ่มขึ้นได้ จึงสรุปได้ทันทีว่าไม่มีสิ่งใดที่ถูกเพิ่มเข้าไป แต่หากเมื่อมันถูกแยกออกมา สิ่งอื่นนั้นก็ไม่ได้มีขนาดเล็กลง และสิ่งอื่นนั้นก็จะไม่มีขนาดเพิ่มขึ้นเมื่อถูกมันเพิ่มเข้ามา จึงเป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีสิ่งใดที่ถูกเพิ่มเข้าไปหรือแยกออกมา”

ข้ออ้างเหตุผลของซีโนนี้ใช้ได้กับวัตถุในโลกสามมิติ (แต่ไม่อาจใช้ได้กับสิ่งประเภทอื่น เช่น เราไม่ได้ตัวใหญ่ขึ้นด้วยการที่มีความสุขมากขึ้น แม้อาจจะกล่าวได้ว่าตัวเรามีความสุขเพิ่มเข้ามา) จึงอาจกล่าวได้ว่า ซีโนกำลังอ้างเหตุผลโจมตีรูปแบบของพหุนิยมที่เห็นว่ามีวัตถุทางกายภาพต่างๆ ที่หลากหลาย ในอีกทางหนึ่ง สำหรับสิ่งต่างๆ ที่มีอยู่นั้น

“ถ้ามันมีอยู่ แต่ละสิ่งก็จะต้องมีขนาดและความหนา และชิ้นส่วนหนึ่งของมันก็จะต้องแยกออกจากชิ้นส่วนอื่นที่เหลือได้ และการให้เหตุผลลักษณะเดียวกันนี้ก็ใช้กับชิ้นส่วนของสิ่งนั้นที่อยู่ด้านหน้าได้ ซึ่งตัวมันเองจะต้องมีขนาดและส่วนของมันก็จะมีด้านหน้า การพูดเช่นนี้ครั้งหนึ่งจึงไม่ต่างจากการพูดเช่นเดียวกันนี้ต่อๆ ไป ไม่มีชิ้นส่วนใดเลยที่จะเป็นชิ้นส่วนสุดท้าย และไม่มีชิ้นส่วนใดเลยที่จะแยกขาดจากส่วนอื่น ดังนั้น ถ้ามีสิ่งต่างๆ อยู่มากมายแล้ว พวกมันย่อมต้องทั้งใหญ่และเล็ก นั่นคือ เล็กจนถึงขั้นไร้ขนาด แต่ใหญ่จนมีขนาดที่ไม่จำกัด”

การอ้างเหตุผลของซีโนวางอยู่บนข้อสมมติที่ว่าวัตถุใดๆ สามารถถูกแบ่งแยกลงไปเป็นชิ้นส่วนต่างๆ ที่แยกจากกันได้ ซึ่งแต่ละชิ้นส่วนนั้นเองก็ถือเป็นวัตถุอันหนึ่งเช่นกัน จึงนำไปสู่การแบ่งแยกที่ไม่มีที่สิ้นสุด กระบวนการแบ่งแยกย่อยนี้ดำเนินไปได้อย่างไม่มีจุดจบ ดังนั้น ชิ้นส่วนต่างๆ จึงมีขนาดที่ใหญ่อย่างไม่จำกัด

นักวิชาการส่วนใหญ่เชื่อว่าข้ออ้างเหตุผลนี้เป็นการอ้างว่าขนาดของผลรวมของชิ้นส่วนต่างๆ มีขนาดใหญ่อย่างไม่จำกัด ซึ่งถ้าเป็นเช่นนี้ ข้อเสนอของซีโนจะเป็นการใช้เหตุผลที่บกพร่อง เพราะแม้จำนวนของชิ้นส่วนต่างๆ จะมีได้อย่างไม่จำกัด แต่ผลรวมของชิ้นส่วนย่อยที่ไม่จำกัดนี้ไม่จำเป็นต้องมีความไม่จำกัดตามไปด้วย (ดังที่ลำดับของ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... จะดำเนินต่อไปได้อย่างไม่สิ้นสุด แต่ผลรวมของทั้งหมดจะมีค่าเป็น 1) ในกรณีของการแบ่งสิ่งต่างๆ ข้างต้น ผลรวมของชิ้นส่วนต่างๆ ของสิ่งๆ หนึ่งจะยังคงเท่ากับขนาดดั้งเดิมของสิ่งนั้น อย่างไรก็ตาม หากเราเข้าใจการตีความในอีกรูปแบบหนึ่ง ก็อาจทำให้เห็นความสมเหตุสมผลของข้ออ้างเหตุผลนี้ได้ กล่าวคือ จุดสนใจของปัญหาไม่ได้อยู่ที่ผลรวมของชิ้นส่วนย่อยต่างๆ แต่อยู่ที่กระบวนการและผลผลิตของการแบ่งแยกย่อยนั้น คือให้พิจารณาที่ความเป็นไปได้ของการทำให้กระบวนการแบ่งแยกนั้นเสร็จสมบูรณ์ ซีโนกำลังชี้ให้เห็นว่าในเมื่อคนทั่วไปมักคิดถึงวัตถุต่างๆ ในลักษณะที่สามารถแบ่งแยกย่อยและมีการกินที่ และไม่มีเหตุผลที่จะทึกทักเอาได้ว่าการแบ่งแยกย่อยนี้จะต้องมีขีดจำกัดขั้นต่ำ จึงย่อมเป็นผลตามมาว่าวัตถุต่างๆ สามารถแบ่งแยกย่อยลงไปได้อย่างไม่จำกัด

สำหรับอริสโตเติล ข้ออ้างเหตุผล 4 รูปแบบของซีโนที่โต้แย้งเรื่องการเคลื่อนที่ ถือเป็นข้ออ้างเหตุผลที่หักล้างได้ยาก แต่อริสโตเติลก็ได้สรุปข้ออ้างเหตุผลทั้งสี่พร้อมเสนอทางออกไว้ดังนี้

3.1 การแบ่งเป็นสอง (Dichotomy)

ปฏิทรรศน์นี้โต้แย้งว่าการเคลื่อนที่ไม่อาจมีอยู่จริงได้ เพราะในการเคลื่อนที่นั้น จำเป็นต้องทำบางสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ให้เกิดขึ้นเสียก่อน ตัวอย่างเช่น ในการที่เราจะเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น A ไปถึงจุดหมาย B ได้ เราจะต้องเคลื่อนที่ไปให้ถึงจุด A1 ซึ่งเป็นครึ่งทางของระยะ A – B เสียก่อน และจากนั้นเราก็จะต้องเคลื่อนที่ไปให้ถึงจุด A2 ซึ่งเป็นครึ่งทางของระยะ A1 – B และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป แต่ละครั้งที่เราเคลื่อนที่ไปถึงระยะครึ่งทาง ยังคงเหลือระยะทางอีกครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือที่เราจะต้องให้ไปถึงก่อนอีกเสมอ ซึ่งระยะทางที่ต้องเคลื่อนที่ไปให้ถึงดังกล่าวมีจำนวนที่ไม่สิ้นสุด และเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำที่ไม่สิ้นสุดเช่นนั้นให้เสร็จสิ้นในระยะเวลาที่จำกัดได้ ดังนั้น เราจึงไม่สามารถเคลื่อนที่ไปถึงจุดหมายที่ต้องการได้

ในอีกทางหนึ่ง อาจมีการแสดงถึงปฏิทรรศน์ของการแบ่งเป็นสองนี้ในอีกรูปแบบหนึ่ง โดยเริ่มต้นปัญหาตั้งแต่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ (แทนที่จะกำหนดให้เคลื่อนที่ไปครึ่งทางและมีระยะอีกครึ่งทางที่เหลือซึ่งต้องเคลื่อนที่ต่อไป ดังที่กล่าวไปข้างต้น) กล่าวคือ ในการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น A ไปถึงจุดหมาย B จำเป็นที่เราจะต้องเคลื่อนที่ไปให้ถึงครึ่งทางเสียก่อน คือ 1/2 (A – B) แต่ก่อนหน้านั้นเราจะต้องเคลื่อนที่ไปให้ถึงครึ่งทางของระยะครึ่งทางแรกนั้น คือ 1/4 (A – B) และก่อนหน้านั้นอีกเป็นระยะ 1/8 (A – B) และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ซึ่งนั่นหมายความว่าทุกครั้งที่เราคิดถึงระยะทางที่สั้นที่สุดที่เราจะต้องเคลื่อนที่ไปให้ได้เป็นลำดับแรกก่อน ย่อมจะต้องมีระยะทางที่สั้นกว่านั้นอยู่อีกเสมอ ซึ่งมีอยู่เป็นจำนวนที่ไม่สิ้นสุด และเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำที่ไม่สิ้นสุดเช่นนั้นให้เสร็จสิ้นในระยะเวลาที่จำกัดได้ ดังนั้น เราจึงไม่สามารถเคลื่อนที่ได้เลย

อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งต่อปฏิทรรศน์การแบ่งเป็นสองในทั้งสองรูปแบบ ไม่ได้มีความแตกต่างกันแต่อย่างใด ในที่นี้เพื่อความกระชับ จึงขอพิจารณาจากรูปแบบแรกเป็นหลัก ซึ่งเราอาจสรุปเป็นขั้นตอนการอ้างเหตุผลได้ดังนี้

1) ในการเคลื่อนที่ไปสู่จุดหมายใดๆ เราต้องเคลื่อนที่ผ่านระยะครึ่งทางก่อนเสมอ

2) มีระยะครึ่งทางอยู่เป็นจำนวนที่ไม่จำกัด

3) เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำซึ่งมีจำนวนไม่จำกัดในเวลาที่จำกัด

4) ดังนั้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเคลื่อนที่ไปสู่จุดหมายใดๆ

การอ้างเหตุผลของต้นมีความสมเหตุสมผลในทางรูปแบบ นั่นคือ ถ้าการทำ X จะต้องทำ Y ก่อน และการทำ Y เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น การทำ X จึงเป็นไปไม่ได้ด้วยเช่นกัน การหาทางออกจากปฏิทรรศน์จึงต้องพิจารณาจากค่าความจริงของข้ออ้างแต่ละข้อว่ามีข้ออ้างใดที่ไม่อาจยอมรับได้ อันจะทำให้เราสามารถปฏิเสธข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์นี้ได้

ทั้งนี้ สิ่งที่เราต้องไม่ลืมคือ การปฏิเสธปฏิทรรศน์นี้ด้วยการใช้สามัญสำนึกเพียงอย่างเดียว เช่นการบอกว่า เราทุกคนต่างมีประสบการณ์เห็นสิ่งต่างๆ เคลื่อนที่อยู่ตลอดเวลา ดังนั้น ข้ออ้างเหตุผลของซีโนจึงต้องผิดอย่างไม่ต้องสงสัย ย่อมเป็นการโต้แย้งที่ไม่เพียงพอ เพราะดังที่กล่าวไปแล้ว ทัศนะแบบของปาร์เมนิเดสที่ซีโนต้องการปกป้องนั้น กำลังบอกเราว่าสิ่งต่างๆ ไม่ได้เป็นอย่างที่มันปรากฏต่อเรา เราอาจเห็นสิ่งต่างๆ เคลื่อนที่อยู่จริง แต่นั่นอาจเป็นเพียงภาพมายา และซีโนได้ทำการพิสูจน์เชิงตรรกะให้เห็นแล้วว่าสิ่งต่างๆ นั้นไม่อาจมีการเคลื่อนที่ได้ การจะปฏิเสธข้อเสนอเช่นนี้จึงจำเป็นต้องชี้ให้เห็นให้ได้ว่าในข้ออ้างเหตุผลที่กล่าวมามีข้อใดที่เป็นปัญหา อันจะทำให้เราไม่จำเป็นต้องยอมรับข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์ที่ตามมา

อริสโตเติลปฏิเสธข้ออ้างที่ 3 โดยการชี้ให้เห็นว่า เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไม่ได้มีจำกัด หากแต่เป็นสิ่งที่ไม่จำกัดเช่นเดียวกับการมีระยะครึ่งทางเป็นจำนวนที่ไม่จำกัด ทั้งนี้มิได้หมายความว่าการเคลื่อนที่ทุกครั้งต้องใช้เวลาที่ไม่จำกัด แต่หมายความว่าเวลาที่ใช้ในการเดินทางสามารถแบ่งให้น้อยลงได้เรื่อยๆ อย่างสัมพันธ์กับระยะทางที่สั้นลงเรื่อยๆ เช่น ถ้าเราใช้เวลา 1/2 นาที สำหรับการก้าวข้ามระยะทางครึ่งแรก เราก็จะใช้เวลา 1/4 นาทีสำหรับระยะทางครึ่งที่สอง และ 1/8 นาทีสำหรับระยะทางครึ่งถัดไป และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ด้วยเหตุนี้ ในขณะที่ระยะทางสั้นลงเรื่อยๆ เวลาที่จะใช้ในการก้าวข้ามระยะทางเหล่านั้นก็จะน้อยลงด้วยเช่นกัน ในแง่นี้ เราไม่ได้มีเวลาที่จำกัดในการเคลื่อนที่ไปสู่จุดหมายที่ต้องการ ข้ออ้างที่ 3 จึงไม่จริง การอนุมานไปสู่ข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์ของการอ้างเหตุผลข้างต้นจึงไม่สมเหตุสมผล

อย่างไรก็ตาม อริสโตเติลเห็นว่าทางออกข้างต้นยังไม่ได้ตอบคำถามสำคัญที่เกี่ยวโยงกับปฏิทรรศน์นี้ นั่นคือ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำการกระทำที่มีจำนวนไม่จำกัดให้เสร็จสิ้นได้ แนวทางแก้ปัญหาที่อริสโตเติลเสนอ วางอยู่บนฐานของการแยกแยะมโนทัศน์เรื่องความไม่จำกัดออกเป็น “ความไม่จำกัดที่เกิดขึ้นจริง” (actual infinite) และ “ความไม่จำกัดที่อาจเกิดขึ้นได้” (potential infinite) อริสโตเติลเห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำที่มีจำนวน “ไม่จำกัดที่เกิดขึ้นจริง” ให้สำเร็จ แต่การทำการกระทำที่มีไม่จำกัดในความหมายที่สองนั้น เป็นสิ่งที่เป็นไปได้ อริสโตเติลอธิบายว่า ระยะทางหรือช่วงเวลาประกอบด้วยจุดต่างๆ (points) หรือช่วงขณะต่างๆ (instants) ที่มีจำนวนไม่จำกัดที่อาจเกิดขึ้นได้ จุดหรือช่วงขณะหนึ่งๆ ถูกทำให้เกิดขึ้นจริงก็ด้วยการหยุดอยู่ที่ตรงนั้นหรือหยุด ณ เวลานั้น การก้าวข้ามระยะทางหนึ่งด้วยการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องไม่ได้ทำให้จุดใดๆ ระหว่างทางนั้นเกิดเป็นจริงขึ้นมา ดังนั้น การเคลื่อนที่ย่อมเป็นไปได้เพราะมันไม่ได้เกี่ยวข้องกับการทำการกระทำที่มี “ไม่จำกัดที่เกิดขึ้นจริง”  

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อริสโตเติลได้ชี้ให้เห็นว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นมีความบกพร่องในแง่ของการใช้คำที่คลุมเครือ หากเราแยกแยะความหมายของความจำกัดให้ดีแล้ว จะทำให้เราเข้าใจข้ออ้างที่ 2 และ 3 ในการอ้างเหตุผลข้างต้นได้เป็นสองทาง คือ

2a) มีระยะครึ่งทางที่เกิดขึ้นจริงอยู่เป็นจำนวนที่ไม่จำกัด

3a) เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำซึ่งมีจำนวนไม่จำกัดที่เกิดขึ้นจริงในเวลาที่จำกัด

2b) มีระยะครึ่งทางที่อาจเกิดขึ้นได้อยู่เป็นจำนวนที่ไม่จำกัด

3b) เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำซึ่งมีจำนวนไม่จำกัดที่อาจเกิดขึ้นได้ในเวลาที่จำกัด

และจากการแยกแยะความไม่จำกัดตามที่อริสโตเติลเสนอ ระยะทางที่แท้จริงสำหรับการเคลื่อนที่นั้น ถูกทำให้เกิดขึ้นจริงก็ด้วยการที่เราเริ่มต้นเคลื่อนที่และหยุดเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง ไม่ใช่ระยะทางที่อาจเกิดขึ้นได้ด้วยการแบ่งในจินตนาการ ข้ออ้าง 2a จึงไม่เป็นจริง ส่วนข้ออ้าง 3b ก็ไม่จริงเช่นกัน (ด้วยเหตุผลที่กล่าวไปแล้ว) นี่จึงทำให้ข้ออ้างที่ 2 และ 3 ในการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้ (ไม่ว่าจะถูกตีความแบบใด) และทำให้ไม่นำไปสู่ข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์ข้างต้น

3.2 อคิลลิส (Achilles) กับเต่า

ปฏิทรรศน์เรื่องอคิลลิสของซีโนนี้ยังคงเป็นข้อโต้แย้งต่อความเป็นไปได้ของการเคลื่อนที่ ในที่นี้สมมติให้อคิลลิส (Achilles) ที่วิ่งได้เร็วมาก มาวิ่งแข่งกับเต่า โดยอคิลลิสต่อให้เต่าออกนำหน้าไปก่อนระยะหนึ่ง แต่สุดท้ายอคิลลิสจะไม่สามารถวิ่งไล่ทันเต่าได้ เพราะในการที่จะวิ่งไล่ทันเต่า เขาจะต้องไปถึงจุด A ที่เต่าเริ่มออกวิ่งเสียก่อน ซึ่งในขณะเดียวกันนั้น เต่าก็ได้เคลื่อนที่ต่อไปอยู่ที่จุด A1 แล้ว จากนั้นเขาก็จะต้องไปให้ถึงจุด A1 ที่ซึ่งในขณะนั้น เต่าได้เคลื่อนที่ไปสู่จุดต่อไปแล้ว และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป กล่าวโดยสรุปคือ ในแต่ละช่วงขณะที่อคิลลิสวิ่งไปถึงจุดที่เต่าออกวิ่ง เต่าจะไม่ได้อยู่ที่นั่นแล้ว ดังนั้น อคิลลิสจึงไม่มีทางวิ่งไล่ทันเต่าได้

ดูเหมือนว่าปฏิทรรศน์นี้จะเป็นการอ้างเหตุผลแบบเดียวกันกับปฏิทรรศน์ของการแบ่งเป็นสอง หากแต่ต่างกันที่ไม่ได้มีการแบ่งสิ่งต่างๆ ออกเป็นครึ่งหนึ่ง โดยรูปแบบข้ออ้างเหตุผลของปฏิทรรศน์นี้จะเป็นดังนี้

          1) ในการที่จะวิ่งไล่ทันเต่าได้ อคิลลิสต้องไปให้ถึงจุดที่เต่าเริ่มต้นออกตัวก่อนเสมอ

          2) จุดเริ่มต้นที่เต่าออกตัวมีจำนวนที่ไม่จำกัด

          3) เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการกระทำที่มีจำนวนไม่จำกัดในเวลาที่จำกัด

          4) ดังนั้น อคิลลิสไม่สามารถวิ่งไล่ทันเต่าได้

แม้ข้ออ้างเหตุผลข้างต้นจะไม่ได้นำไปสู่ข้อสรุปเดียวกับปฏิทรรศน์ของการแบ่งเป็นสองที่ว่าการเคลื่อนที่เป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากธรรมชาติของการเคลื่อนที่ย่อมมีนัยว่า สิ่งที่เคลื่อนที่ได้เร็วกว่าจะเคลื่อนที่ไล่ทันสิ่งที่เคลื่อนที่ได้ช้ากว่าในที่สุด ข้อสรุปของซีโนข้างต้นที่ว่าอคิลลิสไม่สามารถวิ่งไล่ทันเต่าได้ จึงสามารถสรุปไปสู่การบอกว่าการเคลื่อนที่ไม่มีอยู่จริงได้เช่นเดียวกัน และตามการวิเคราะห์ในแบบของอริสโตเติล ซึ่งยังคงเป็นการตีความที่มีอิทธิพลอยู่จนปัจจุบัน ปฏิทรรศน์อคิลลิสนี้จะเป็นการอ้างเหตุผลที่บกพร่อง ด้วยเหตุผลเดียวกับที่กล่าวไว้ในปฏิทรรศน์ของการแบ่งเป็นสองข้างต้นแล้ว

อย่างไรก็ตาม หากพิจารณาในข้อเขียนของอริสโตเติลให้ดี (Physics 239b14) จะพบว่าการตีความข้างต้นไม่ถูกต้อง อริสโตเติลกล่าวไว้เพียงว่า “ผู้ที่วิ่งช้ากว่าจะไม่มีทางถูกไล่ทันได้โดยผู้ที่วิ่งเร็วที่สุด เพราะในลำดับแรกผู้ที่ไล่ตามจะต้องไปให้ถึงจุดที่ผู้ถูกตามจากไปเสียก่อน อันทำให้ผู้ที่วิ่งช้ากว่านำหน้าอยู่เสมอ” ทั้งนี้โดยไม่มีการกล่าวถึงจำนวนที่ไม่จำกัดของจุดเริ่มต้นออกตัว หรือความเป็นไปไม่ได้ของการทำการกระทำที่มีจำนวนไม่จำกัดแต่อย่างใด หัวใจสำคัญของปฏิทรรศน์จึงอยู่ที่คำว่า “เสมอ” (always) และ “ไม่มีทาง” (never) ซึ่งจะนำไปสู่ข้ออ้างเหตุผลในรูปแบบที่ต่างไปจากเดิม ดังนี้

1) อคิลลิสวิ่งไล่ทันเต่าเมื่อเขาไปถึงจุดที่เต่าอยู่

2) ในแต่ละครั้ง ก่อนที่จะวิ่งไล่ทันเต่าได้ อคิลลิสต้องไปให้ถึงจุดที่เต่าเริ่มต้นออกตัวก่อน

3) เมื่ออคิลลิสไปถึงจุดที่เต่าเริ่มต้นออกตัว เต่าก็ได้เคลื่อนที่นำหน้าไปแล้ว

4) ดังนั้น เต่าจึงอยู่ในระยะที่นำหน้าอคิลลิสอยู่เสมอ (จากข้ออ้าง 2 และ 3)

5) ดังนั้น อคิลลิสจึงไม่มีทางวิ่งไล่ทันเต่าได้ (จากข้ออ้าง 4)

รูปแบบการอ้างเหตุผลนี้แตกต่างไปจากการอ้างเหตุผลของการแบ่งเป็นสอง และทำให้ข้อโต้แย้งเดิมไม่อาจนำมาใช้ได้ ในขณะที่ปฏิทรรศน์การแบ่งเป็นสองอยู่บนฐานของความเป็นไปไม่ได้ของการทำการกระทำที่มีจำนวนไม่จำกัด ปัญหาในปฏิทรรศน์อคิลลิสจะอยู่ที่ความหมายของคำว่า “เสมอ” และ “ไม่มีทาง” ทั้งนี้ การที่ปฏิทรรศน์อคิลลิสจะโต้แย้งเรื่องความมีอยู่ของการเคลื่อนที่ได้นั้น ข้ออ้างที่ 5 ต้องมีความหมายที่เป็นการยืนยันว่า ไม่มีช่วงเวลาใดเลย ที่อคิลลิสจะไปถึงจุดที่เต่าอยู่ได้ (ซึ่งแน่นอนว่านี่เป็นความเข้าใจโดยทั่วไปต่อข้ออ้างดังกล่าวอยู่แล้ว) และนั่นย่อมต้องหมายความว่าข้ออ้างที่ 4 จะต้องเป็นการยืนยันว่า ในทุกช่วงเวลา เต่าจะนำหน้าอคิลลิสเสมอ (เพื่อที่จะนำไปสู่ข้อสรุปที่ 5 ในความหมายตามที่กล่าวมาได้)

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่าข้ออ้างที่ 4 ไม่จริง เพราะในความเป็นจริง สิ่งที่เคลื่อนที่เร็วกว่าย่อมต้องไล่ทันสิ่งที่เคลื่อนที่ช้ากว่าได้ในที่สุด และเมื่อพิจารณาจากลำดับการอ้างเหตุผล ข้ออ้างที่ 2 และ 3 ก็ไม่ได้นำไปสู่ข้ออ้างที่ 4 ในความหมายที่ว่าเต่าจะนำหน้าอคิลลิสอยู่ในทุกช่วงเวลา เพราะอันที่จริง ข้ออ้างที่ 2 และ 3 เพียงแต่บอกเราว่า เต่าจะนำหน้าอคิลลิสอยู่ทุกช่วงขณะในช่วงเวลาที่กำลังวิ่งไล่กัน เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเต่านำหน้าอคิลลิสอยู่ 9 กิโลเมตร และเต่าคลานได้ 1 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในขณะที่อคิลลิสวิ่งได้เร็ว 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง นั่นเท่ากับว่าในอีก 1 ชั่วโมงข้างหน้า อคิลลิสจะวิ่งไล่ทันเต่าได้พอดี ในระหว่างที่วิ่งไล่กันอยู่นั้น อคิลลิสจะวิ่งตามเต่า และเต่าจะนำหน้าอยู่เสมอ แต่ขอบเขตของ “เสมอ” ในที่นี้อยู่ในขอบเขตของช่วงเวลาที่อคิลลิสยังวิ่งไล่ไม่ทันเต่าเท่านั้น ไม่ใช่ “เสมอ” ในแบบที่ไม่มีขอบเขตจำกัดอย่าง “ในทุกช่วงเวลา” ที่ถูกใช้ในข้ออ้างที่ 4 และดังที่กล่าวไปแล้ว ข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์จะได้มาก็ด้วยการที่ไม่มีเวลาใดเลยที่อคิลลิสจะวิ่งไล่ทันเต่าได้ แต่การอ้างเหตุผลข้างต้น โดยเฉพาะจากข้ออ้างที่ 2 และ 3 ไม่อาจใช้เป็นเหตุผลที่นำมาสู่การสรุปเช่นนี้ได้

3.3 ลูกศรที่พุ่งออกไป (Flying Arrow) 

ซีโนเสนอปฏิทรรศน์ลูกศรเพื่อแสดงให้เห็นว่าลูกศรที่กำลังพุ่งออกไปนั้นไม่มีการเคลื่อนที่ อริสโตเติลได้สรุปปฏิทรรศน์นี้ไว้ว่า “ถ้าทุกสิ่งหยุดนิ่งเสมอเมื่อมันกินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเอง และสิ่งที่กำลังเคลื่อนที่เคลื่อนที่อยู่ในแต่ละช่วงขณะเสมอ ลูกศรที่เคลื่อนที่อยู่นั้นก็ย่อมจะไร้การเคลื่อนที่” (Physics 239b5) แต่ข้อความเพียงเท่านี้ยังไม่อาจนับเป็นการอ้างเหตุผลที่สมบูรณ์ได้ และการเติมเหตุผลให้สมบูรณ์อาจทำได้หลายรูปแบบ ซึ่งรูปแบบหนึ่งเป็นดังนี้

1) ถ้าสิ่งใดๆ กินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเองแล้ว สิ่งนั้นหยุดนิ่งอยู่กับที่ (เหตุผลจากข้อเขียนของอริสโตเติล)

2) ลูกศรที่อยู่ในอากาศกินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเองในทุกๆ ขณะที่มันพุ่งออกไป (เหตุผลที่เสริมเข้ามา)

3) ดังนั้น ลูกศรจึงหยุดนิ่งอยู่กับที่ในแต่ละขณะที่มันพุ่งออกไป (จากข้ออ้าง 1 และ 2)

4) สิ่งที่เคลื่อนที่ เคลื่อนที่ ณ ขณะหนึ่งๆ เสมอ (เหตุผลจากข้อเขียนของอริสโตเติล)

5) ดังนั้น ในช่วงเวลาทั้งหมดที่ลูกศรพุ่งออกไป ลูกศรนั้นหยุดนิ่งอยู่กับที่ (จากข้ออ้าง 3 และ 4)

อริสโตเติลโต้แย้งปฏิทรรศน์นี้ว่าเป็นผลมาจากการรับสมมติฐานที่ว่าเวลาประกอบขึ้นด้วยช่วงขณะต่างๆ (instants) หากไม่มีการรับสมมติฐานนี้แล้ว ก็จะทำให้ไม่สามารถสรุปจากข้อ 4 ไปข้อ 5 ได้ นอกจากนี้ อริสโตเติลยังได้โต้แย้งประเด็นเรื่องการเคลื่อนที่และการหยุดนิ่งด้วย กล่าวคือ การเคลื่อนที่และการหยุดนิ่งอยู่กับที่ เกิดขึ้นได้เมื่อพิจารณาจากช่วงเวลาหนึ่งๆ ไม่ใช่จากช่วงขณะ การเคลื่อนเป็นเรื่องของการที่สิ่งๆ หนึ่งอยู่ในที่ต่างกันในเวลาที่ต่างกัน ไม่มีสิ่งใดที่เคลื่อนที่ได้ในชั่วขณะหนึ่งๆ ในทำนองเดียวกัน การหยุดนิ่งอยู่กับที่ก็สามารถเข้าใจว่าเป็นเรื่องของการปราศจากการเคลื่อนที่ นั่นคือ สิ่งๆ หนึ่งหยุดนิ่งอยู่กับที่ในช่วงเวลาหนึ่ง (ไม่ใช่ในช่วงขณะ) เมื่อสิ่งนั้นไม่ได้มีการเคลื่อนที่ ในแง่นี้ ข้ออ้างที่ 3 จึงไม่อาจยอมรับได้

ข้อโต้แย้งอีกประการหนึ่งคือ ปัญหาการตีความข้ออ้างที่ 1 ที่บอกว่าทุกสิ่งซึ่งกินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเอง เป็นสิ่งที่หยุดนิ่งอยู่กับที่ การกล่าวเช่นนี้ย่อมเท่ากับเป็นการบอกว่าบางสิ่งที่เคลื่อนที่ไม่ได้กินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเอง แต่การไม่กินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเองนี้ครอบคลุมช่วงเวลาใด ระหว่าง ก) ในช่วงเวลาทั้งหมดของการเคลื่อนที่ของสิ่งนั้น หรือ ข) ในช่วงขณะหนึ่งๆ ในการเคลื่อนที่ของสิ่งนั้น หากเป็นความหมายแรก ก็จะหมายความว่าในช่วงเวลาทั้งหมดที่ลูกศรพุ่งออกไป มันจะอยู่ในตำแหน่งที่ต่างกันในเวลาที่ต่างกัน ซึ่งนั่นทำให้ผลรวมของการกินพื้นที่ของลูกศรที่อยู่ในตำแหน่งต่างๆ ทั้งหมด มีขนาดที่ใหญ่กว่าขนาดของตัวลูกศรที่อยู่ในแต่ละตำแหน่งย่อย ในทางกลับกัน ในระหว่างช่วงเวลาที่ลูกศรหยุดนิ่ง ลูกศรนั้นก็จะกินพื้นที่เท่ากับขนาดของตัวมันเอง การตีความแบบแรกนี้เป็นที่เข้าใจได้ง่าย แต่จะทำให้การอ้างเหตุผลข้างต้นไม่สมเหตุสมผลขึ้นมา เพราะข้ออ้างที่ 1 นี้จะกลายเป็นเรื่องของการเคลื่อนที่และการหยุดนิ่งที่ครอบคลุมช่วงเวลาหนึ่งๆ (ไม่ใช่เพียงช่วงขณะ – instant) อันทำให้ไม่สามารถอนุมานไปสู่ข้ออ้างที่ 3 ซึ่งพูดถึงพฤติกรรมของลูกศรในแต่ละช่วงขณะได้

ในขณะที่การตีความแบบ ข. แม้ว่าจะทำให้อนุมานไปสู่ข้ออ้างที่ 3 ได้ เพราะอยู่ในขอบเขตของแต่ละช่วงขณะเหมือนกัน แต่การตีความนี้ไม่อาจหาเหตุผลที่ดีมารองรับได้เลยว่าเหตุใดสิ่งต่างๆ จึงเปลี่ยนแปลงขนาดในระหว่างการเคลื่อนที่ได้ (ที่แต่ละช่วงขณะ ลูกศรจะมีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าขนาดของตัวมันเองเมื่อหยุดนิ่ง) ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากข้ออ้างที่ 1 การอ้างเหตุผลข้างต้นจึงไม่อาจรับได้ เพระตามการตีความแบบแรก การอ้างเหตุผลนี้จะไม่สมเหตุสมผล ในขณะที่การตีความแบบที่สอง (แม้ว่าจะสมเหตุสมผล) แต่ข้ออ้างดังกล่าวกลับเป็นข้ออ้างที่ไม่อาจยอมรับได้ตั้งแต่ต้น

3.4 ขบวนแถวที่เคลื่อนที่ (Moving Rows)

อริสโตเติลเขียนถึงปฏิทรรศน์นี้ไว้ว่าเป็นข้ออ้างเหตุผลที่เกี่ยวกับสิ่งซึ่งมีขนาดเท่าๆ กัน เคลื่อนที่ขนาบข้างไปกับสิ่งซึ่งมีขนาดเท่าๆ กันในทิศทางที่ตรงกันข้าม กลุ่มหนึ่งเคลื่อนมาจากปลายด้านหนึ่ง ในขณะที่อีกกลุ่มเคลื่อนมาจากตรงกลาง และต่างเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เท่ากัน อันนำไปสู่ข้อสรุปเชิงปฏิทรรศน์ของซีโนที่ว่า “ครึ่งหนึ่งของเวลาที่ใช้เคลื่อนที่เท่ากับสองเท่าของเวลาครึ่งหนึ่งนั้น” (half the time is equal to its double)

ในที่นี้ เราอาจลองสมมติให้มีวัตถุที่มีลักษณะเป็นขบวนแถว ซึ่งประกอบด้วยส่วนย่อยที่มีขนาดเท่ากัน และให้มีขบวนแถว 3 ขบวน คือ ขบวน A ขบวน B และขบวน C โดยที่ขบวนแถว A หยุดนิ่งอยู่กับที่ ขบวนแถว B เคลื่อนที่ไปทางขวาของ A และขบวนแถว C เคลื่อนที่ไปทางซ้ายของ A ด้วยความเร็วที่เท่ากัน โดย ณ ช่วงเวลาหนึ่งของการเคลื่อนที่นี้ ส่วนขวาสุดของขบวนแถว B และส่วนซ้ายสุดของขบวนแถว C ได้เคลื่อนที่มาเรียงแนวตรงกันกับจุดกึ่งกลางของ A ดังนี้

A A A

        B B B

                      C C C

และโดยที่ทั้ง B และ C เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เท่ากัน  เมื่อส่วนขวาสุดของ B เคลื่อนมาตรงกับส่วนขวาสุดของ A แล้ว ส่วนซ้ายสุดของ C ก็จะเคลื่อนมาตรงกับส่วนซ้ายสุดของ A ดังนี้

                   A A A

                    B B B

                   C C C

ปฏิทรรศน์เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาถึงเวลาที่ B ใช้ในการเคลื่อนที่ผ่าน A และ C ภายในช่วงเวลาเดียวกัน  นั่นคือ สมมติให้การที่ส่วนขวาสุดของ B (จากที่อยู่ตรงกลางของ A) เคลื่อนที่ไปจนถึงส่วนขวาสุดของ A ใช้เวลา T หน่วย  แต่ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นเอง ส่วนขวาสุดของ B ก็ได้เคลื่อนผ่านขบวน C ซึ่งมีความยาวเป็น 2 เท่าของที่ B เคลื่อนผ่าน A (เพราะจากแผนภาพข้างต้น ส่วนขวาสุดของ B เคลื่อนมาเจอ A อีก 1 ส่วน แต่เคลื่อนมาเจอ C อีก 2 ส่วน) ซึ่งนั่นหมายความว่าต้องใช้เวลาเป็น 2 เท่าของการที่ B เคลื่อนผ่าน A  (คือเท่ากับ 2T หน่วย)  แต่สถานการณ์ทั้งหมดนี้ เริ่มต้นและจบลงพร้อมัน จึงทำให้เกิดข้อสรุปที่เป็นปฏิทรรศน์ว่า เวลา T หน่วย เท่ากับเวลา 2T หน่วย

ความบกพร่องของการอ้างเหตุผลนี้ มาจากการสับสนในเรื่องความเร็วโดยสัมพัทธ์ของวัตถุ กล่าวคือ ถ้าแถว B เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว S ไปทางขวาเมื่อเทียบกับแถว A และถ้าแถว C เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว S ไปทางซ้ายเมื่อเทียบกับแถว A แล้ว นั่นแสดงว่า แถว C กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว S+S = 2S เมื่อเทียบกับแถว B  ด้วยเหตุนี้ ระยะเวลา (ซึ่งคือ ระยะทางหารด้วยความเร็ว) ของการที่ส่วนขวาสุดของ B เคลื่อนไปตรงกับส่วนขวาสุดของ A จึงเป็น T/S และระยะเวลาของการที่ส่วนขวาสุดของ B เคลื่อนไปตรงกับส่วนขวาสุดของ C จึงเป็น 2T/2S  นั่นคือ T/S = 2T/2S ซึ่งไม่เป็นปฏิทรรศน์แต่ประการใด


4. สรุป

ปฏิทรรศน์ของซีโนได้รับความสนใจในทางปรัชญาเพิ่มมากขึ้นหลังจากมีการพัฒนามโนทัศน์สมัยใหม่ที่เกี่ยวกับความเป็นอนันต์ โดยเฉพาะจากงานของเบอร์ทรันด์ รัสเซล (Bertrand Russull) และงานของจอร์จ แคนเทอร์ (Georg Cantor) เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเชิงอนันต์ (theory of transfinite numbers) และเป็นอีกครั้งที่มีการใช้หลักปรัชญาร่วมสมัยมาแก้ปฏิทรรศน์ ดังเช่นที่อริสโตเติลได้ทำในสมัยกรีก รวมถึงข้อท้าทายที่ปฏิทรรศน์ของซีโนมีต่อทัศนะของคนทั่วไปเกี่ยวกับอวกาศ เวลา และการเคลื่อนที่ โดยเฉพาะในปัญหาการแบ่งเป็นสอง อคิลลิสกับเต่า และลูกศรที่พุ่งออกไป นี่จึงอาจกล่าวได้ว่าเป็นพัฒนาการของการถกเถียงปฏิทรรศน์ของซีโนซึ่งก้าวข้ามไปจากสิ่งที่ซีโนเองต้องการเสนอ นอกจากนี้ ความสำคัญของปฏิทรรศน์ของซีโนอีกประการหนึ่งคือ การใช้วิธีการนิรนัยเพื่อชี้ให้เห็นถึงความบกพร่องของการใช้แต่เพียงความเชื่อที่คุ้นเคยที่ปราศจากการตรวจสอบมายืนยันทัศนะของตน คุณูปการเหล่านี้ย่อมน่าจะมีน้ำหนักสำคัญที่ช่วยชดเชยความผิดพลาดของข้ออ้างเหตุผลที่มีอยู่ในปฏิทรรศน์ของซีโนได้ ซึ่งส่วนมากจะพบความผิดพลาดนั้นได้ก็เมื่อมีการใช้มโนทัศน์ การแยกแยะ และเทคนิคการพิสูจน์ ซึ่งยังไม่ได้มีการพัฒนาขึ้นมาในยุคสมัยของซีโนนั้น

พรเทพ สหชัยรุ่งเรือง (ผู้เรียบเรียง)

เรียบเรียงจาก
 

เอกสารค้นคว้าเพิ่มเติม